Σήμερα θα εξερευνήσουμε τον μαγευτικό κόσμο των φράκταλ, εστιάζοντας σε ένα φαινόμενο γνωστό ως «σύνολο Mandelbrot» (Mandelbrot set). Αυτό το σαγηνευτικό μοτίβο έχει κεντρίσει το ενδιαφέρον τόσο των μαθηματικών, όσο και των καλλιτεχνών, προσφέροντας ένα οπτικό θέαμα που είναι ταυτόχρονα πολύπλοκο, αλλά και όμορφο.
.
Το σύνολο Mandelbrot πήρε το όνομά του από τον Benoit Mandelbrot, ο οποίος το ερεύνησε εκτενώς τον περασμένο αιώνα, ξεκινώντας με τον ορισμό και την πρώτη απεικόνιση του το 1978. Το σύνολο προέρχεται από μια πολύ απλή εξίσωση που περιλαμβάνει μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι αριθμοί που έχουν τόσο πραγματικό όσο και φανταστικό μέρος. Το συναρπαστικό συμβαίνει όταν σχεδιάζουμε αυτούς τους αριθμούς σε μια γραφική παράσταση: λαμβάνουμε ένα εξαιρετικό μοτίβο που φαίνεται να συνεχίζεται για πάντα.
.
Τι κάνει αυτό το μοτίβο τόσο γοητευτικό; Όταν κοιτάζουμε το σύνολο Mandelbrot, βλέπουμε ένα σύμπλεγμα μαύρων σχημάτων που περιβάλλεται από ζωηρά, πολύχρωμα «φωτοστέφανα». Το όριο που διαχωρίζει τις μαύρες και τις χρωματιστές περιοχές είναι εκεί που συμβαίνει η «μαγεία». Αυτό το όριο είναι απείρως περίπλοκο, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να κάνουμε ατελείωτο «ζουμ» και να εξακολουθούμε να βρίσκουμε νέα, περίτεχνα μοτίβα. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι γνωστό ως “αυτο-ομοιότητα” (self-similarity) και αποτελεί ένα καθοριστικό χαρακτηριστικό των φράκταλ.
.
Αλλά το σύνολο Mandelbrot δεν είναι απλώς μια όμορφη εικόνα. Έχει πρακτικές εφαρμογές σε διάφορους τομείς, από τη Φυσική (Δυναμική των ρευστών) έως τα γραφικά υπολογιστών, ακόμη και στον χρηματοπιστωτικό τομέα για τη μοντελοποίηση πολύπλοκων συστημάτων. Το σύνολο χρησιμεύει ως μια μεταφορά για την απρόβλεπτη αλλά και γεμάτη μοτίβα φύση του κόσμου στον οποίο ζούμε.
.
Το σύνολο Mandelbrot αποτελεί ένα όμορφο παράδειγμα των κρυμμένων θαυμάτων των Μαθηματικών. Δεν είναι απλώς ένα «έργο τέχνης»: είναι ένα «μαθηματικό θαύμα» που προκαλεί την κατανόηση μας για την πολυπλοκότητα και το άπειρο.
.
Δεν είναι εκπληκτικό πώς μπορεί να προκύψει τέτοια πολυπλοκότητα από μια απλή εξίσωση;
.
Εικόνα: Wikipedia (Wolfgang Beyer)