Η βασική λειτουργία του Planet Physics είναι να ενθαρρύνει, να προωθήσει και να υποστηρίξει την εκπαίδευση στον τομέα της Φυσικής, κάνοντας τη μάθηση απτή, ενδιαφέρουσα και διαδραστική.

Η ακολουθία Fibonacci

Η ακολουθία Fibonacci είναι μια σειρά αριθμών που αρχίζει με 0 και 1 και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 κ.ο.κ. Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται σαν μια απλή σειρά αριθμών. Ωστόσο, η συγκεκριμένη ακολουθία έχει εκτεταμένες εφαρμογές, που εκτείνονται πολύ πέρα από το πεδίο των αριθμών.

.

Μια από τις πιο συναρπαστικές πτυχές της ακολουθίας Fibonacci είναι η εμφάνισή της στη φύση. Από τη διάταξη των πετάλων σε ένα λουλούδι μέχρι τα σπειροειδή μοτίβα των κοχυλιών, η ακολουθία εκδηλώνεται με διάφορες μορφές. Για παράδειγμα, ο αριθμός των πετάλων σε μια μαργαρίτα συχνά αντιστοιχεί σε έναν αριθμό Fibonacci. Ομοίως, τα σπειροειδή μοτίβα σε έναν ανανά ή σε ένα κεφάλι ηλιόσπορου είναι σύμφωνα με την ακολουθία. Το φαινόμενο αυτό δεν αποτελεί σύμπτωση – είναι αποτέλεσμα της βέλτιστης «συσκευασίας», όπου η φύση προσπαθεί να υλοποιήσει την πιο αποδοτική χρήση του χώρου.

.

Στην τέχνη και την αρχιτεκτονική, η ακολουθία έχει χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία αισθητικά ευχάριστων αναλογιών. Η Χρυσή Τομή (περίπου 1,618), συνδέεται στενά με την ακολουθία Fibonacci. Καθώς οι αριθμοί της ακολουθίας μεγαλώνουν, η αναλογία μεταξύ διαδοχικών αριθμών Fibonacci προσεγγίζει τη Χρυσή Τομή. Η αναλογία αυτή χρησιμοποιείται συχνά στο σχεδιασμό κτιρίων, σε πίνακες ζωγραφικής, ακόμη και στη φωτογραφία, καθώς θεωρείται ιδιαίτερα ευχάριστη αισθητικά.

.

Η ακολουθία έχει επίσης πρακτικές εφαρμογές σε διάφορους τομείς όπως η επιστήμη των υπολογιστών. Αλγόριθμοι που βασίζονται στην ακολουθία Fibonacci χρησιμοποιούνται σε δομές δεδομένων όπως οι «σωροί» και τα «δέντρα».

.

Γιατί όμως αυτή η ακολουθία εμφανίζεται τόσο καθολικά; Οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες εξακολουθούν να διερευνούν το ερώτημα. Ορισμένες θεωρίες υποστηρίζουν ότι η ακολουθία αντιπροσωπεύει θεμελιώδεις αρχές συμμετρίας και ισορροπίας. Άλλοι πιστεύουν ότι είναι αποτέλεσμα εξελικτικών διαδικασιών της φύσης, οι οποίες ευνοούν τη βέλτιστη τοποθέτηση και διάταξη.

.

Η ακολουθία Fibonacci είναι κάτι περισσότερο από μια απλή λίστα αριθμών. Είναι ένα μοτίβο που επαναλαμβάνεται σε διάφορες πτυχές της φύσης, της τέχνης και της επιστήμης.

Τι είναι ο λογάριθμος;

Στον τομέα των μαθηματικών, οι λογάριθμοι είναι μια σημαντική έννοια, συνδεδεμένη με τους εκθέτες. Ο όρος «λογάριθμος» (logarithm) έχει – προφανώς – ελληνικές ρίζες, καθώς προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις «λόγος» και «αριθμός». Οι λογάριθμοι αναπτύχθηκαν αρχικά για να απλοποιήσουν πολύπλοκους υπολογισμούς που περιλάμβαναν πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Αλλά τι ακριβώς είναι ένας λογάριθμος;

.

Ας φανταστούμε ότι πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα: σε ποια δύναμη πρέπει να υψώσουμε έναν ορισμένο αριθμό, που ονομάζεται βάση, για να λάβουμε έναν άλλο αριθμό; Ο λογάριθμος απαντά σε αυτό το ερώτημα. Για παράδειγμα, όταν ρωτάμε: “Ποιος είναι ο λογάριθμος του 1000 με βάση 10”, είναι σαν να ρωτάμε: “Σε ποια δύναμη πρέπει να υψωθεί το 10 για να πάρουμε το 1000”. Η απάντηση είναι 3, επειδή 10^3=1000.

.

Οι λογάριθμοι έχουν μακρά ιστορία στην επιστήμη και τη μηχανική, κυρίως για τη δύναμή τους να μετατρέπουν το δύσκολο έργο του πολλαπλασιασμού στο απλούστερο της πρόσθεσης. Αυτή η ιδιότητα τους έκανε απαραίτητους στην εποχή πριν από τους υπολογιστές, για τους πολύπλοκους υπολογισμούς.

.

Σήμερα, οι λογάριθμοι βρίσκονται παντού στον σύγχρονο κόσμο μας. Μας βοηθούν να περιγράψουμε την ένταση των σεισμών μέσω της κλίμακας Ρίχτερ, την ένταση του ήχου σε ντεσιμπέλ, ακόμη και την οξύτητα των ουσιών με τα επίπεδα pH. Συμπυκνώνουν ευρύτατους αριθμούς σε μια εύχρηστη κλίμακα, βοηθώντας στην καλύτερη κατανόηση φαινομένων που εκτείνονται σε πολλές τάξεις μεγέθους.

.

Επιπλέον, οι λογάριθμοι χρησιμεύουν ως ραχοκοκαλιά για πολλούς αλγορίθμους στην επιστήμη των υπολογιστών, ιδίως στην αποτελεσματική ταξινόμηση και αναζήτηση δεδομένων.

.

Ο φυσικός λογάριθμος, που έχει βάση τον αριθμό e (περίπου 2,718), έχει ιδιαίτερη σημασία στις φυσικές επιστήμες, φωτίζοντας τις διαδικασίες αύξησης και μείωσης, από τους πληθυσμούς μέχρι τις ραδιενεργές ουσίες. Η παρουσία του είναι αισθητή ακόμα και στα οικονομικά, στο πεδίο του ανατοκισμού.

.

Λογαριθμικές σπείρες, όπως η σπείρα Fibonacci, που διέπονται από λογαριθμικές συναρτήσεις, μπορούν να βρεθούν σε διάφορες πτυχές της φύσης, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το σχήμα των γαλαξιών.

52! (παραγοντικό)

Η αδυναμία μας να καταλάβουμε τους μεγάλους αριθμούς…

.

Θέλεις να κάνεις κάτι ΜΟΝΑΔΙΚΟ ΠΑΓΚΟΣΜΙΩΣ; Ίσως δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαντάζεσαι…

.

Πάρε μια τράπουλα, μπλέξε πολλές φορές τα φύλλα και άσε την τράπουλα πάνω στο τραπέζι: η σειρά από τα τραπουλόχαρτα που έφτιαξες, είναι ΜΟΝΑΔΙΚΗ!

.

Πώς το ξέρουμε αυτό;

.

Όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί για να τοποθετηθούν τα 52 φύλλα είναι 52! (52 παραγοντικό) ή αλλιώς… 8 x 10^67 (αδιανόητος αριθμός για το μυαλό μας). Αρκεί να σκεφτούμε ότι όλα τα ΑΤΟΜΑ του ορατού ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ είναι περίπου 10^80 …!

.

Κάνε λοιπόν κι εσύ, εύκολα, κάτι μοναδικό!

Η «πλάνη του τζογαδόρου»

Ποια είναι η «πλάνη του τζογαδόρου» (the gambler’s fallacy);

.

Ας σκεφτούμε μια απλή ρίψη νομίσματος. Η πιθανότητα να βγει κορόνα ή γράμματα είναι πάντα 50%, ανεξάρτητα από τα προηγούμενα αποτελέσματα. Ωστόσο, αν ρίξουμε ένα νόμισμα τέσσερις φορές και κάθε φορά βγει κορόνα, η πλάνη του τζογαδόρου ίσως μας κάνει να πιστέψουμε ότι τα γράμματα είναι πιο πιθανό να έρθουν στην επόμενη ρίψη. Αυτός ο συλλογισμός είναι λανθασμένος επειδή κάθε ρίψη νομίσματος είναι ένα ανεξάρτητο γεγονός- το νόμισμα δεν έχει μνήμη από προηγούμενες ρίψεις και οι πιθανότητες παραμένουν ίδιες για κάθε ρίψη.

.

Μια κλασική απεικόνιση της πλάνης του τζογαδόρου συνέβη στο καζίνο του Μόντε Κάρλο το 1913, όπου η μπίλια της ρουλέτας έπεσε στο μαύρο 26 φορές συνεχόμενα. Καθώς το σερί παρατεινόταν, όλο και περισσότεροι άνθρωποι πόνταραν τεράστια ποσά στο κόκκινο, πιστεύοντας ότι επρόκειτο να έρθει. Δυστυχώς, η ρουλέτα δεν έχει καμία προτίμηση για το κόκκινο ή το μαύρο, και η πιθανότητα να «κάτσει» η μπίλια σε οποιοδήποτε χρώμα είναι η ίδια σε κάθε περιστροφή. Όσοι πόνταραν στο κόκκινο βασιζόμενοι στην πλάνη έχασαν περιουσίες.

.

Η πλάνη του τζογαδόρου έχει τις ρίζες της στην έμφυτη επιθυμία μας να (προσπαθούμε να) βλέπουμε μοτίβα και να προβλέπουμε αποτελέσματα σε έναν κόσμο γεμάτο τυχαιότητα. Επισημαίνει μια θεμελιώδη παρανόηση του νόμου των μεγάλων αριθμών, ο οποίος δηλώνει ότι ενώ τα αποτελέσματα θα εξισωθούν, για μεγάλο χρονικό διάστημα, αυτό δεν προβλέπει βραχυπρόθεσμα αποτελέσματα. Οι άνθρωποι έχουν επίσης μια ψυχολογική προκατάληψη να πιστεύουν ότι οι μελλοντικές πιθανότητες επηρεάζονται από γεγονότα του παρελθόντος, γεγονός που οδηγεί σε λανθασμένες υποθέσεις στα τυχερά παιχνίδια και στη λήψη αποφάσεων.

.

Οι επιπτώσεις της πλάνης του τζογαδόρου επεκτείνονται πέρα από την αίθουσα του καζίνο, επηρεάζοντας τις οικονομικές αποφάσεις, τον αθλητισμό, ακόμη και τις νομικές αποφάσεις. Η αναγνώριση και η κατανόηση αυτής της πλάνης μπορεί να βοηθήσει στη λήψη πιο ορθολογικών αποφάσεων, τονίζοντας τη σημασία του να λαμβάνονται υπόψη στατιστικά στοιχεία και όχι λανθασμένοι συλλογισμοί.